Probabilistisches Denken

Es ist immer wieder interessant zu sehen, wir schwer wir Menschen uns damit tun, Wahrscheinlichkeiten korrekt einzuschätzen. Ein einfaches Beispiel hierfür ist das Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln:

Ist es wahrscheinlicher, sechs mal hintereinander eine Sechs zu würfeln (6-6-6-6-6-6), oder eher die Folge 4-2-1-6-1-3?

Intuitiv würden viele Menschen die gemischte Folge für wahrscheinlicher halten, obwohl für beide Folgen die Wahrscheinlichkeit (1/6)^6 (= ~0,017%) gilt. Psychologen sprechen hier auch von einer Repräsentativitätsheuristik, die Menschen anwenden, wenn sie innerhalb kurzer Zeit Probleme lösen sollen, für die sie keine vollständige Problemrepräsentation und Lösung erstellen können und sich deswegen auf eigene Erfahrungswerte verlassen.

Ein noch interessanteres Beispiel ist das sogenannte Boy-Girl-Paradoxon:

Man wähle eine zufällige Familie mit zwei Kindern, deren älteres Kind ein Junge ist. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das jüngere Kind ein Mädchen ist?

Richtigerweise wird hier oft die Chance auf 50% eingestuft, bei Vernachlässigung von Faktoren wie der biologisch und genetisch bedingten Geschlechterverteilung bei Geburten.

Bei einer leichten Modifizierung der Frage, passiert nun etwas Unerwartetes:

Man wähle eine zufällige Familie mit zwei Kindern, von denen mindestens ein Kind ein Junge ist. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Viele Menschen würden auch hier die Chancen auf 50:50 einstufen. Jedoch ist dieses Ergebnis nicht korrekt, tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit für ein Mädchen hier 2/3. Für eine Familie mit zwei Kindern ergeben sich folgende vier Permutationen: Junge-Junge, Junge-Mädchen, Mädchen-Junge sowei Mädchen-Mädchen. Aufgrund der Tatsache, dass mindestens ein Junge in der Familie vorhanden ist, kann der letzte Fall gleich ausgeschloßen werden. Somit bleiben noch drei Möglichkeiten übrigen, von denen zwei ein Mädchen beinhalten.

Bei dieser modifizierten Frage scheitert man schnell an der so genannten A-priori-Wahrscheinlichkeit und der bedingte Wahrscheinlichkeit, nämlich dass es eigentlich um zu zwei Ereignisse geht, von denen eines das andere bedingt. Interessierte finden hier eine Einführung in das eng damit verwandte Theorem von Bayes. Dieses Theorem sorgt im Übrigen dafür, dass weniger Spam in der einer Mailbox ankommt, weil man damit die Wahrscheinlichkeit von Spam berechnen kann.